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高考數學熱點題型考點解析,數學考前復習重點

來源:新東方高考研究院

作者:

高考數學熱點題型考點解析

潘逸飛

  本文內容是高考數學熱點題型的考點解析,給大家講一些大家應該注意到的高考一些熱點的話題,應該涉及的一些點,把重點的東西給大家挑出來說一說。

  先來說選填部分的內容,基本上像集合、復數,這兩個模塊同學們主要需要掌握的題型,那么另外需要同學尤其注意的是,最近在考試當中抽象的幾何和有關于復數它本身抽象的定義,也就是說Z不給你它是3+I4+I了,就抽象一些,這個是需要大家注意的,那么遇到抽象的我們說處理的方式其實是比較統一,基本上都是化抽象為具像,可以舉出來一個滿足條件的例子,這樣我們用具體的東西來處理,比如說大家可以回憶一下八省聯考當中的第一個集合題,包括第十個復數的題,我說的其實就這兩個題,如果大家對八省聯考還不太熟悉,因為有老高考的同學,所以這個時候我跟大家要說的一點就是從歷史上來看,高考命題有時候會交叉,什么意思呢?就是說老高考命題的試卷它可能會參考一些新高考的,因為就是利用一個信息差。比如說我是老高考的,那么新高考的多選題是不是跟我就一點關系都沒有?所以可能利用大家一個知識的盲區他去出這么樣一個題,這個是其實有據可循,2019年的題它有的時候會參考二卷的題參考三卷考區的模擬卷,所以這個時候大家盡可能去多見,當然如果大家現在時間不夠的話,你就把這些點回去再看一看,那么這是有關于集合復數的,我們不會單獨的出題來給大家說,那么其他的比如說是向量,向量這種題基本上去考慮坐標法,這是我們想給大家說的一個點,那么這是向量。那么除此之外,我說的簡單的題大概就是選擇題的前8個題,當然對于新高考的同學來說,就是前12個里面包含多選題里面的前兩個這樣一共8個題大家可以自行去看。

  那么先給大家說的這個例一,實際上是我認為比較重要的一個內容,就是拋物線的交點弦,那么有關于拋物線的交點弦步需要讓大家記住的,就是拋物線交點弦的計算公式,這個弦長AB等于2P比上sin阿爾法的平方,同學還需要大家注意到一個結論,就是AF分之一,加BF分之一等于P分之2,這是兩個需要大家注意的結論,那么我們回到這個題目當中來說,他說已知拋物線是Y方=8X,交點的坐標是F(2,0)以F為圓心,以I為半徑做一個圓F如果如圖所示,直線AB經過F,并且與圓F交與MN兩點,與拋物線交于AB兩點,這個時候問你,大家看圖就好了AN+2BM的最小值是多少,所以這個時候這個題目就用到了我說的第二個結論,這可能是大家的一個盲點,希望同學能夠積累一下,那這是什么呢?那就是AN+2BM,它等于什么呢?它就等于AF+1+2BF+1,那么這時候你看到了AF和B F滿足這樣一個關系,其中P是多少?P是4,那么它就等于二分之一。在這個題目里面,它等于二分之一,所以這個式子我就可以寫成什么呢?AF+2BF乘以一個2倍的AF分之一,加上BF分之一,那么這個時候往后再做,當然后邊還加一個3,所以這個地方是在基本不等式當中,我們提到的所謂的1的代換, 這是需要大家注意的,那么往后做我就不再說了,所以這個點就或者交點弦的這個知識點,大家需要額外的去注意一下,這是我想通過這個題目想給大家說的,那我們繼續往后看下一個。

  

  下一個這個題是在數學文化當中想給大家分享的祖暅原理,它說南北朝時期,著名的數學家祖暅提出了祖暅原理,叫做冪勢既同,則積不容異,意思是夾在兩個平行平面當中的兩個幾何體,被平行于這兩個平面的任意一個平面所截,若截面的面積相等,那么這兩個幾何體的體積相等,所以使用祖暅原理有兩個條件。

  第一個條件是夾在兩個平行平面之間的幾何體,也就是要求這兩個幾何體的高是一樣的,那么第二個要求的條件是截面的面積相等,所以滿足兩個條件得到的幾何體的體積就是相同的,這是祖暅原理。那么這個題目相對來說題干比較長,給大家解釋的祖暅原理也比較全面,再下邊它還給大家介紹的一個球體的體積,我們是怎么計算的,我們都知道球體的體積是三分之四πr的立方,那球體的體積怎么算?就是用祖暅原理算的,那么半球的體積是三分之二πr的立方,那這個它的體積跟誰相等?就是跟一個圓柱體減去一個錐體,那么這就是前序的一些東西,那這里呢,涉及到了兩個體,我在這個題目當中給大家是一個橢球體,所謂橢球體就是把一個橢圓繞著Y軸轉了一周,得到的這么一個橄欖球或者叫橢球,都一樣。那這個體的體積就提示大家一下,像這個題目當中它也說了,類比上述方法,所以你類比上述方法怎么類比?首先我們求球的時候,我們沒有求一整個球而是先求了半個球,所以那這樣的話我類比這種方法我們也先求一半,然后再類比,球是怎么算的?是圓柱減圓錐,那橢球怎么算?我如果類比這種方法的話,它應該就是一個圓柱,還是一個圓柱,還減去一個圓錐,那么這時候圓柱的高是多少,因為祖暅原理要求冪勢既同,也就是它的高要一樣,所以這個橢球體的高是3,半個橢球體就是3,所以你畫的這個圓柱體的高應該是9,那么它的底面半徑應該是多少?跟這個橢圓的短軸應該是一樣的,就是2,所以這個時候柱體你也找到了,錐體你也找到了,這體積就找到了,有的同學會問,說老師滿足它各個截面的面積相等嗎?是相等的,我給大家提一下這個知識點是大家需要掌握的。

  下面再看例題三,例題三是一個立體幾何的問題,那么立體幾何的問題,提示大家注意這些動點的問題、折疊的問題、交線的問題,當然如果一個立體幾何的題目,涉及到了動點、折疊和交線,那通常意味著這個題目的難度會比較大,所以這個時候呢,同學要根據你自己的實際情況,你可以稍微的少花一點點時間去做,不用在這個時間點還糾結這種特別難的東西,當然這個題本身還是比較有意思的,那么來看一下這個題,它說如圖所示,在矩形ABCD當中,E是AB的中點,好了,在立體幾何當中尤其你要注意中點,看到中點之后我一定要想到有沒有可能會用到中位線,這是一種自然而然的想法大家應該要保持住,那么同時它說將三角形ADE沿著DE翻折,成為三角形A1DE,然后M也是一個中點,所以你又看到了中點,那中點就要想中位線,那跟M相關的中位線我一定會取誰,CD的中點比如說我們取成F對不對,那這樣的話呢,MF就是個中位線,那同時,EF是這個矩形當中對邊中點的連線,所以你能知道EF也是垂直于AB的,它就把這矩形分成了相等的兩部分,這是我們做立體幾何題目的一個習慣,就是我一邊讀題我就要想這些東西它可能會用到什么樣的知識點,立體幾何的題目不像別的題,你要把題目全部讀完了之后,帶著問題再去思考,不用,你一邊讀題就把常用的手段先給它標出來,當然提示大家在考試的過程當中盡量不要在答題紙上涂涂劃劃,你不要把答題紙涂的千奇百怪千瘡百孔的,一定要在你的草稿紙上先寫好了確定沒問題了你再寫。那么我們來看繼續往后讀,他說在三角形翻折的過程當中,下列命題錯誤的是什么,所以命題錯誤的它是一個單選題,那我反過來問你下列命題正確的是,這就是一個多選題,所以我一直強調不要拘泥于這題是個多選題我就不做,或者說這個題是單選題那這是一個老高考的題,稍微我一變,它就能變成單選或者多選,所以這個的時候需要提醒大家注意,那么你先看第一個題,他說BM的長度是一個定值,然后他說點M在圓上運動,好,這兩個選項如果你就算是不會做,你也能知道這題肯定不在AB里頭選,為什么?因為BM要是定值,那么點M就在一個圓上運動,BM是定值那B點固定的,BM的長度又是固定的,所以它就是以B為圓心,以BM為半徑的圓,所以這兩個選項是一個同源的選項,要么都錯要么都對,作為單選題而言那就肯定知道在AB不能選,然后再看CD選項,那先看看D選項,一定存在某個位置使得MB平行與平面A1DE,那存在這樣的位置嗎?一定存在,我把MF一連,那么這個時候的話BF是平行于DE的,并且MF一定是平行于AED的,所以我就知道了平面BMF一定平行于這個平面A1DE,那兩個平面都平行了根據面面平行的性質,這形狀不是一定平行的嗎?所以這樣的話看似復雜的AB兩個選項,實際上AB選項我根本就不考慮了,我知道它要么都對要么都錯,所以D選項又是對的所以肯定選C選項,這題就結束了。那么我們簡單的說一下為什么BM是定值,這是這個題目里邊比較優秀的一個方法。你看在這個題里面,MF是不是平行于AED,對嗎?好,BF我問你是不是平行與DE,你說這個F點是怎么找到的,就是在題目中我看到了中點就想中位線,好了,這時候的話所以我說角,哪個角啊?MFB,就永遠等于角A1DE,為什么?因為平行,這有點像E面直線所成角的那個意思,當然跟它還稍微有點區別,所以角是相等的,那你再看邊,那這時候MF的長度是不是永遠等于二分之一AED?固定不變吧,翻折的過程當中,BF的長度是不是等于DE的長度也是不變的,所以這個時候的話MF的長度是固定的,BF的長度是固定的,那個夾角MFB也是固定的,那對于解三角形來說,兩邊一角都是固定的,這個三角形就確定了,所以BM的長度是定值了,那么BM是定值M就在圓上運動對吧,這是一個順理成章的事情,所以這個時候例題三我們就說完了。

  那么談到了交線這個問題,我們說遇到了交線,特別是交線長的時候,同學們注意這個是考察過的,那么你要記住,只要問你交線長,這個交線肯定就是兩者當中的一個,要么它是直線,要么它就是,為什么說交線就只有這兩種,特別是問你交線長度的時候呢,因為除了直線和弧的長度大家都不會算。所以這種思考問題的方式是從我掌握的知識的角度去考慮的,既然別的我都不會算,那肯定就是這兩個里面的一個,這是給大家的一個提示,那什么時候是弧什么時候直線?如果是個選擇題的話,你就看這個軌跡里邊帶不帶π,帶π那就是個圓,不帶π的那大概率是個直線,這是我給大家從思路上提示一下。

  再來看下一個例題,例題四,這個題基本上在各地的考卷當中,圓錐曲線就是三個題比較穩定,那除了八省聯考的時候出過一次雙曲線當解答題的,除此之外解答題一般就是兩個,橢圓是考得最多的,當然二卷里面也考雙曲線,也考這個拋物線,這是最高頻的兩個線,然后這個前面的選填部分就是兩個題,一個題考你拋物線或者是橢圓這就看解答題里面考了誰,剩一個就是前面那個,那另一個就是雙曲線,大家做題你也能感覺到,雙曲線的位置大概就是選擇題的11題,填空題的15題基本上就是倒二這個位置,就最近幾年沒有見過雙曲線壓軸的,但是倒二的位置它還是能占上的,那么說到了雙曲線它如果作為一個倒二的題目出現,那么這個時候大家一定要記住雙曲線當中就是數形結合,什么是數形結合?就提示一下大家,如果它作為一個選填出現,通常不用韋達定理,我們簡單看一下這個題,它說雙曲線的右頂點是A,以A為圓心以B為半徑作圓,且圓A和雙曲線的一條漸近線交于MN兩點,若這些條件則雙曲線的離心率是多少,那這個時候做這樣的題目我們一定是要畫圖的,大家畫圖的時候還是畫在草稿紙上,這個雙曲線給它畫出來,那它說右頂點為A,把A點標出來它的坐標A0,以B為半徑作圓,且A與雙曲線一條漸近線交于MN兩點,所以我們把它漸近線畫出來,那這時候這個圓就會交于MN兩點,它說向量ON等于3倍的向量NM,所以這樣的話NM我就可以寫成NO加上OM,那就得到了4倍的向量ON,等于向量OM,因為M在遠處N在近處,它是一個1:4的關系,我們再怎么去做,那么這就提到了我說的那句話,就是我們一般不連例,我們就是用它里邊幾何的一些關系去做,那有什么幾何關系,首先AN、AM這兩個長度都是B,那A到這個直線的距離我們能求出來嗎?可以,點到線的距離,線的方程也知道,點的坐標也知道,所以這個高度也能知道,那這個點我們把它起個名字,比如說就叫P點,所以根據勾股定理,AP是知道的,然后AM、AN都是知道的,所以NP和MP這兩個長度都能算,用勾股定理算,那這兩個長度可計算的時候我們再來看,ON和OM是4:1的關系,所以這個的4倍是NM,所以NM就是3倍,3倍的ON,這時候這兩個長度我是知道了,這兩個長度知道了之后,那ON的長度是不是我就能表示了,那么這個時候是不是說N點還在這個雙曲線的漸近線上,那我再利用這個條件是不是就能得到一個等式,那這樣的話往后是不是就能計算離心率了,當然我這么分析可能會稍微有點快,大家可以理解一下這個題目,你可以回頭自己嘗試做一下,這就是我們想說的,雙曲線當中的盡量多的用圖去解決,而不用連例的方式去解決,為什么?其實我的這個方法論一直都是固定的,因為如果你要連例做那么就會跟解答題的思路產生重復,那作為一個高考卷而言我們肯定不希望用兩個題考察同一個知識點,所以我們說它大概率是不可能用連例的方式,同時也提示大家在雙曲線當中尤其要注意什么呢?尤其要注意,漸近線的傾斜角,特別漸近線的傾斜角是30度、60度、45度、135度這種特殊角,那么往往你利用它的這個特殊角度會在你解題過程當中收到奇效,第二個希望大家注意的就是,在漸近線當中就注意它一個對稱性,這也是考試的時候很可能會考的。

  接下來我們說一說解答題,這個部分的東西相對來說會更多一些,主要把重要的點給大家點出來,首先就是在解三角形當中,需要大家注意的就是首先是中線,ABCD,D是中點,那么這個時候向量AD就等于二分之一向量AB加向量AC,所以AD的長度就等于二分之一根號下AB+AC,它擴出的平方,就是向量AB的平方加上2倍的向量AB點乘向量AC加上向量AC的平方,它等于誰呢?二分之一根號下,AB就是C的平方加AC,AC就是B的平方,再加上2倍的BC乘以cosA,所以你看到這個形式,C方加B方加2BCcosA,這個跟跟余弦定理有點像,但它不是余弦定理,它是計算中線長的公式,這是中線,那么中線可以推而廣之,推廣到A、B、C、D是BC上的任意一點,滿足BD:CD等于浪目達(音),所以這時候我可以寫出來這是浪目達這是1,就是按比例寫的,所以我馬上可以寫向量AD就等于1除以浪目達加一倍的向量AB加上浪目達除以浪目達加1倍的向量AC,這里有特點,這個比例關系這里是浪目達這里是1,那對應的AC這里的系數就是它,然后AB上面的系數對應的就是它,這是一個交叉對應的關系,那分母都是1+浪目達,那這里是向量當中的一個等和線,這個也是書上,作為大家使用新版教材書上的一個利器,所以它如果安排在高考當中考察呢,其實合情合理,這是有關于中線和BC上面任意一點需要大家掌握的,除此之外就是角平分線需要大家掌握一個關系,角平分線需要大家掌握什么呢?這是B,這是A,這是C,這是D,有的同學說為什么你這個不以A開頭呢?因為上面那個題是以B的,好,BD為角平分線,所以這個時候需要掌握的是什么?你看我過這兒做垂直做垂直,DE、DF,角平分線一定要用到角平分線上的點,到角的兩邊距離相等,所以就是DF等于DE,好,那么跟角平分線相關的,最常用的是這么一個公式,叫二分之一ACsinB,這是誰?它的面積對吧,等于二分之一DE乘以AB,那就是A加C乘以它的高,高是誰呢?DE或者DF,DE、DF是誰呢?是BD乘以sin二分之B,什么意思?那就是在今年的考試當中如果遇到了,人家問你角平分線是多少對吧?我們經常用的是什么呢?經常用的是中線長,你會算,那如果人家告訴你角平分線,讓你去求角平分線,那你要想到用這么一個公式,用它的面積去計算,在這個式子當中你會發現,只要我知道角B、知道A知道C,我就能確定它的角平分線,這是我確定了AC邊上的角平分線,那其他邊上的角平分線道理也是一樣的,當然這個題目因為角平分線的長度是知道的,B角是知道,二分之B也是知道的,所以呢,你能得到一個AC和A+C的關系式,那就是AC等于A+C,這是我化簡完的,那么這個時候求4A+C的最小值,跟我們最開始提的那個最值問題是一樣的,依然要用到的就是均值不等式,這是我想給大家說的。那么在解三角形當中,我們經常會用到均值不等式去求諸如周長的最值,面積的最值,那么這個時候的話呢,大家能想到的就是說我取面積的最值的時候,或者周長的最值的時候,一定是這個三角形是等腰三角形或者等邊三角形的時候對吧,這是一個大家應該形成的感覺。

  接下來我們說一下例題九,這個題它的第二問它的新穎之處在短數列的求和,我給大家提點一下這里邊需要你注意的,首先第一問它就問你一個問題,說這個數列如果它不是等比數列求AN,我們習慣于去做的一個事情是說,給你一個遞推的公式,遞推的關系,然后讓你證明這個數列是等比數列,然后求它的通向,然后去求它的和對不對,這是咱們很熟練很熟練的一個東西,那這個題目是什么呢?首先它的遞推公式叫做AN+1等于2倍的AN+1,基本上大家都能寫出來,叫做AN+1+1等于2倍的AN+1,所以往常我們就寫所以AN+1+1除以AN+1就等于2,所以這個數列AN+1是以A1+1為首項,以2為公比的等比數列,那么這個題目神奇之處就在于它不問你是等比,它問你什么時候不是等比數列,那什么時候不是等比數列呢?你得看這個題里有什么我們控制不住的變量,只有一個變量,就是A1+1為首相,首相我不知道是幾,那換言之,首是幾的時候它就不是對比數列了呢?所以若AN+1等于0,即AN等于-1時,AN+ 1不是等比數列。然后第二問,當然第二問A1等于1了,它就是一個等比數列了,它以2為首相以2為公比,所以AN就是2的N次方減去1,接下來它說在AK和AK+1之間呢插入了K個數構成了一個新的數列,A1、1,A2、35,A3、7、9、11,A4等等等等各,然后問你前50項的和是多少,所以這個時候我只提一句,短數列的求和不要求TN,什么意思呢?如果你發現這個題目,它只讓你求T某某數字,那么這時候你不要直接去求它的TN是多少,然后再把N代出來,你就是它讓你求到多少,你就求多少就完事了,不要多費時間多費功夫,這就是例題九。

  下面看例題十,例題十第一問相對比較簡單,我只說第二問,那么關于數列不等式的證明,實際上這個是在前期,也就是之前的考試當中呢,全國卷當中出的比較少,但是最近的模擬題當中,這種題變得特別多,所以這里也提點大家一下,遇到數列的不等式我們怎么去證明,數列不等式證明起來,同學需要注意的就是,它的證明形式一般情況下會讓你證明一個小于或者大于,一般都是小于,可能是一個小于常數或者是可能是小于一個含N的式子,那么通常情況下,含N的式子是比較簡單的,證明它是一個常數可能相對復雜,但基本上能夠出出來的東西,都比較簡單,因為這個東西本身之前就不是咱們全國或者新高考的一個重點,那么這個時候的話我們重點來說一說,你像這種含N的式子怎么去證,從證明的方法來說,我們主要是使用放縮的方法,那么放縮的時候通常我們是往等比的方向放縮,或者是往列項的方向放縮,那我放縮成誰呢?其實這種含N的式子會給你一個啟示,為什么?我們想證明的是不是A1的平方加一直加到AN的平方小于一個東西對吧,那我不如去證明誰呢?它小于B1+B2一直加到BN,就正好等于這個東西,所以這個時候的話,問題就變成誰呢,我是不是只要說明一下,AN的平方分之一,小于BN就行了,那BN是誰啊?我現在知道B1加到BN是三分之一減9N+3,所以BN是誰呢?所以BN就是三分之一減9N加三分之一,減去它的前一項三分之一減9N減六分之一,它是誰呢?它是3N+1乘以3N減二分之一,那AN平方比它小嗎?比它小,為什么,因為你從第一問題能夠想出來或者求出來它的AN的平方是3N+1的平方分之一,所以它自然的就小于這個東西,對吧,你直接去想,為什么我要把它放縮成它,而不放縮成3N,或者3N減1或者別的東西,對吧,為什么我就直接想到這個東西呢?你就看答案它會這么寫,它其實是可以從這里推出來,這也就是說我為什么說含N的式子會比較簡單呢?因為你可以比較直觀地判斷出來的我到底應該往哪個方向放縮,這是我想給大家說的。

  那么本文的內容就到這里結束了,距離高考應該也只剩下20多天了,那祝愿,衷心地祝愿在座的各位同學能在最后的20多天里邊,繼續努力,努力到開考前的最后一刻,取得一個令自己滿意的成績,考上一個自己心儀的學校,祝愿各位同學晚安、高考愉快。

文章更新時間:2021-05-19

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